Можно ли корни делить друг на друга: правила, методы, примеры как делить квадратные корни

Содержание

Действия с корнями.

  1. Главная
  2. Алгебра
  3. Степени и корни
  4. Действия с корнями.

Умножение корней с одинаковыми показателями

Чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, нужно оставить тот же показатель корня, а подкоренные выражения перемножить.

√(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45

Умножение корней с разными показателями

Чтобы перемножить корни с разными показателями, нужно сначала привести корни к общему показателю, а потом перемножить полученные корни с одинаковым показателем. Чтобы умножить корень на число, надо занести под знак корня это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.

∛‎(729) × √(25) =
= √(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45

Деление корней с одинаковыми и разными показателями

Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, нужно разделить подкоренные выражения, а показатель корня оставить прежний.

√(81) / √(25) =
= √(81 / 25) =
= 9 / 5

Если показатели корней разные, то сначала нужно привести корни к общему показателю, а потом — поделить получившиеся корни с одинаковыми показателями.Можно делить (число на корень или корень на число) — для этого нужно занести под знак корня (в числитель или в знаменатель) это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.

∛‎(729) / √(25) =
= √(81) / √(25) =
= √(81 / 25) =
= 9 / 5

Возведение корней в степень

Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня оставить тем же.
(∛‎(125))2 = (∛‎(1252))

Извлечение корня из корня

Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить прежним.

Уничтожение иррациональности в знаменателе

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно домножить на одно и то же выражение числитель и знаменатель дроби, пользуясь по мере надобности формулами сокращённого умножения. Если в знаменатетеле дроби корень числа — домножаем на такой же корень, и в знаменателе оказывается само число.

7 / √(5) =
= 7 × √(5) / 5

Если в знаменателе дроби сумма/разность корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих корней, и в знаменателе оказывается разность самих чисел.

7 / [ √(7) - √(3) ] =
= 7 × [ √(7) + √(3) ] / [ 7 - 3 ] =
= 7 × [ √(7) + √(3) ] / 4

Если в знаменателе сумма/разность кубических корней двух чисел — домножаем на неполный квадрат разности/суммы этих кубических корней. В знаменателе получается сумма/разность самих чисел.Если в знаменателе неполный квадрат суммы/разности кубических корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих кубических корней. В знаменателе получается разность/сумма самих чисел.

5 / [ ∛(7) + ∛(4) ] =
= 5 × [ ∛(49) - ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / [ 7 + 4 ] =
= 5 × [ ∛(49) - ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / 11

ᐉ Как делить корни между собой

Как делить корни между собой

ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! 🙂

Формулы корней. Свойства квадратных корней. Продолжение.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

Продолжаем развлечение? В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Очень уж она полезная в решении примеров! Осталось ещё две. Переходим к следующей формуле. Это будет деление корней.

Формула столь же проста, как и умножение. Вот она:

Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет. Об этих тонкостях мы ниже поговорим.

У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. Что можно делать прямо по формуле? Очевидно, делить корни.

Как делить корни?

Элементарно. Вот вам примерчик:

В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Например:

Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Как видите, ничего здесь сложного нет.

Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. Справа налево. Вот так:

Какие возможности раскрывает нам такая запись? Ничего нового, думаете? Ошибаетесь! Забавно, но простая запись формулы в другом направлении частенько высвечивает дополнительные возможности!

В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Спокойно пишем себе:

Вот и все дела! От работы с дробью целиком, мы переходим к работе отдельно с числителем, отдельно со знаменателем. Что гораздо проще. А если дробь десятичная? Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! По формуле деления корней. Например:

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Как поступаем? Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле

деления корней! К примеру, вот так:

Что, забыли, как переводить дроби? Срочно двигайте в тему «Дроби» и вспоминайте. А то ни дробь преобразовать, ни сократить её. И зачем вам тогда квадратные корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Простая и безобидная формула, простое употребление. Теперь в нашем арсенале уже две формулы. Умножение и деление корней. Табурет на двух ножках. Сидеть можно, но. некомфортно.)

Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Или корень в квадрате. Или корень из степени. Корень в степени. Всяко называют. Но суть одна. Это возведение в степень подкоренного выражения или самого корня.

Можно ли корень возвести в квадрат? А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень. А извлечь корень из квадрата? Да тоже не проблема! Мы же умеем корень из произведения извлекать. Так что можно извлечь корень не только из квадрата, но и из любой степени.

Но именно эти действия вызывают массу проблем. С этим надо разобраться основательно. Что мы сейчас и сделаем. Начнём с безобидного действия. С корня в квадрате.

Как возвести корень в квадрат?

Так как посчитать корень в квадрате? Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Так вот, если мы число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку, возведём-таки в этот самый квадрат? Что получим? Двойку, конечно! Т.е. подкоренное выражение. Или, в общем виде:

Вот и всё! Никаких подводных камней, всё строго по формуле! Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение. Понятно, что а — число неотрицательное. Иначе формула смысла не имеет.

А если корень не в квадрате, а в другой степени? Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Например, вот так (расписываю подробно):

Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.

Если степень нечётная — разложим исходное выражение на множители, и все дела:

Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата.

Как извлечь корень из квадрата?

Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.

Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:

Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:

Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией — извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:

Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что

а — неотрицательное. Для простоты. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца — вот там и начнётся настоящая работа!

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допустим, в четвёртой? Да нет проблем. Приведём нашу степень к квадрату. Вот так:

Для таких преобразований надо опять-таки знать действия со степенями, но тут уж ничего не поделаешь.

Теперь по формуле корня из квадрата:

Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Корень из 3 10 ? Легко! Это будет 3 5 . Корень из 5 18 ? Запросто! Это будет 5 9 . Ну, и так далее.

А если степень нечётная? Подумаешь! Раскладываем подкоренное выражение на множители — и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Например:

Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто. Вернём эту простоту и ясное понимание.

Вот тут и будет мрачный заяц. Для лучшего запоминания.) Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак!)

Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

Пунктик первый. Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки:

Здесь всё понятно и просто.

А теперь попробуем вычислить:

Берём, и просто считаем, безо всяких формул:

Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! То есть:

А если бы мы использовали формулу:

получили бы не два, а минус два! Что является ошибкой.

Не работает эта формула для отрицательных значений.

Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так:

Это и есть последнее, третье свойство корней. Корень из квадрата. Третья ножка для табурета.)

Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Модуль. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке

а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Формула стала полноценной. Модуль просто отсекает минусы:

Пунктик второй. Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение:

Не выходит? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ урока.

Получилось? Неплохо. А как вам эти примерчики?

Вычислить (все буквы — неотрицательные):

Ответы (в беспорядке): выражение не имеет смысла; 5; 4; 1; -3; 0,5

Всё нормально!? Отлично. Корни — не ваша проблема.

Не всё понятно? Не беда. Читаем дальше.

Не получаются даже простые примеры? Или не очень простые? Хотелось бы увидеть решение всех примеров с подробными и понятными объяснениями? Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. Которые, между прочим, годятся не только для решения этих примеров.

Это и будет последняя, четвёртая ножка для табурета.) Которая не даст свалиться и при серьёзных заданиях.

Особо ценная информация Раздела 555 помогает даже в самых запущенных случаях!) Когда не получается — и всё тут! Не говоря уж об отдельных неясностях. В этом разделе вы познакомитесь с

практической работой с корнями.

И всё получится.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Умножение корней: основные правила

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

  1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
  2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $sqrt$ и $sqrt$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения . Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $sqrt$ и $sqrt$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $sqrt$ на какую-нибудь хрень типа $sqrt[7]$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Умножать корни несложно

Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)

%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

Но тогда получается какая-то хрень:

Этого не может быть, потому что $sqrt[3] lt 0$, а $sqrt[3] gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

  1. Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
  2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $sqrt[3]$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

  1. Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
  2. Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу [sqrt[n]cdot sqrt[p]=sqrt[ncdot p]>cdot ^>>].
  3. 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Ну что? Потренируемся?

Пример 1. Упростите выражение:

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Пример 3. Упростите выражение:

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

  1. Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
  2. В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $sqrtcdot sqrt[4]$. Теперь его можно расписать намного проще:

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b) , при возведении которого в квадрат мы получим число (a) : [sqrt a=bquad textquad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0) .
(bullet) Чему равен (sqrt) ? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt=5) (так как (25=5^2) ).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a) , а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt) , (sqrt) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20) : [beginhline 1^2=1 & quad11^2=121 \ 2^2=4 & quad12^2=144\ 3^2=9 & quad13^2=169\ 4^2=16 & quad14^2=196\ 5^2=25 & quad15^2=225\ 6^2=36 & quad16^2=256\ 7^2=49 & quad17^2=289\ 8^2=64 & quad18^2=324\ 9^2=81 & quad19^2=361\ 10^2=100& quad20^2=400\ hline end]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt+sqrt) , то первоначально вы должны найти значения (sqrt) и (sqrt) , а затем их сложить. Следовательно, [sqrt+sqrt=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt 2+ sqrt ) мы можем найти (sqrt) – это (7) , а вот (sqrt 2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt=sqrt 2+7) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя (bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrtquad textquad sqrt a:sqrt b=sqrt] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrtcdot sqrt 2=sqrt=sqrt=8) ; (sqrt:sqrt3=sqrt=sqrt=16) ; (sqrt=sqrt=sqrtcdot sqrt= 5cdot 8=40) . (bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt) . Так как (44100:100=441) , то (44100=100cdot 441) . По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49) , то есть (441=9cdot 49) .
Таким образом, мы получили: [sqrt=sqrt= sqrt9cdot sqrtcdot sqrt=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt>= sqrt>= sqrt>=dfraccdot sqrt4 cdot sqrt>=dfrac3=dfrac3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot sqrt2) ). Так как (5=sqrt) , то [5sqrt2=sqrtcdot sqrt2=sqrt=sqrt] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2) ,
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a) . Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a) , то есть (4sqrt2) .

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2) , поэтому (sqrt=4) . А вот извлечь корень из числа (3) , то есть найти (sqrt3) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14) ), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7) ) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|) , равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3) .
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a) .
Пример: (|5|=5) ; (qquad |sqrt2|=sqrt2) . (bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a) .
Пример: (|-5|=-(-5)=5) ; (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|) . (bullet) Имеют место следующие формулы: [=|a|>>] [>, text ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1) . Тогда (sqrt=sqrt=1) , а вот выражение ((sqrt )^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt) не равен ((sqrt a)^2) ! Пример: 1) (sqrt=|-sqrt2|=sqrt2) , т.к. (-sqrt2 0,5) : [begin &sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text\[1ex] &sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext\[1ex] &2>1,5^2\ &2>2,25 end] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1

Источники:

http://www.egesdam.ru/page262.php

http://www.berdov.com/docs/radikal/umnozhenie-kornej/

http://shkolkovo.net/theory/kvadratnyj_koren_dejstviya_s_kvadratnymi_kornyami_modul_sravnenie_kvadratnyh_kornej

Можно ли делить корни друг на друга

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень. "
И для тех, кто "очень даже. " )

Продолжаем развлечение? В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Очень уж она полезная в решении примеров! Осталось ещё две. Переходим к следующей формуле. Это будет деление корней.

Формула столь же проста, как и умножение. Вот она:

Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет. Об этих тонкостях мы ниже поговорим.

У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. Что можно делать прямо по формуле? Очевидно, делить корни.

Как делить корни?

Элементарно. Вот вам примерчик:

В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Например:

Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Как видите, ничего здесь сложного нет.

Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. Справа налево. Вот так:

Какие возможности раскрывает нам такая запись? Ничего нового, думаете? Ошибаетесь! Забавно, но простая запись формулы в другом направлении частенько высвечивает дополнительные возможности!

В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Спокойно пишем себе:

Вот и все дела! От работы с дробью целиком, мы переходим к работе отдельно с числителем, отдельно со знаменателем. Что гораздо проще. А если дробь десятичная? Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! По формуле деления корней. Например:

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Как поступаем? Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней! К примеру, вот так:

Что, забыли, как переводить дроби? Срочно двигайте в тему "Дроби" и вспоминайте. А то ни дробь преобразовать, ни сократить её. И зачем вам тогда квадратные корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Простая и безобидная формула, простое употребление. Теперь в нашем арсенале уже две формулы. Умножение и деление корней. Табурет на двух ножках. Сидеть можно, но. некомфортно.)

Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Или корень в квадрате. Или корень из степени. Корень в степени. Всяко называют. Но суть одна. Это возведение в степень подкоренного выражения или самого корня.

Можно ли корень возвести в квадрат? А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень. А извлечь корень из квадрата? Да тоже не проблема! Мы же умеем корень из произведения извлекать. Так что можно извлечь корень не только из квадрата, но и из любой степени.

Но именно эти действия вызывают массу проблем. С этим надо разобраться основательно. Что мы сейчас и сделаем. Начнём с безобидного действия. С корня в квадрате.

Как возвести корень в квадрат?

Так как посчитать корень в квадрате? Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Так вот, если мы число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку, возведём-таки в этот самый квадрат? Что получим? Двойку, конечно! Т.е. подкоренное выражение. Или, в общем виде:

Вот и всё! Никаких подводных камней, всё строго по формуле! Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение. Понятно, что а — число неотрицательное. Иначе формула смысла не имеет.

А если корень не в квадрате, а в другой степени? Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Например, вот так (расписываю подробно):

Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.

Если степень нечётная — разложим исходное выражение на множители, и все дела:

Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата.

Как извлечь корень из квадрата?

Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.

Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:

Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:

Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией — извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:

Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: "где а — больше, либо равно нулю". В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а — неотрицательное. Для простоты. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца — вот там и начнётся настоящая работа!

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допу

Умножение корней

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

  1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
  2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

Примеры.

\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{20}\cdot \sqrt[4]{\frac{125}{4}}=\sqrt[4]{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt[4]{625}=5; \\ & \sqrt[3]{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt[3]{0,16}=\sqrt[3]{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt[3]{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt[3]{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. \\ \end{align}\]

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

\[\begin{align} & \sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a; \\ & \sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt[7]{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Правило умножения корней. Чтобы умножить $\sqrt[n]{a}$ на $\sqrt[p]{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[3\cdot 4]{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt[12]{81\cdot 8}=\sqrt[12]{648}; \\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt[5]{7}=\sqrt[2\cdot 5]{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt[10]{32\cdot 49}=\sqrt[10]{1568}; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[2\cdot 4]{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt[8]{625\cdot 9}=\sqrt[8]{5625}. \\ \end{align}\]

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Умножать корни несложно

Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

\[\sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}\]

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}}\cdot \sqrt[p\cdot n]{{{b}^{n}}}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

\[\sqrt[3]{-5}\]

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3\cdot 2]{{{\left( -5 \right)}^{2}}}=\sqrt[6]{{{5}^{2}}}\]

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

\[\begin{align} & \sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}\Rightarrow \sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}; \\ & \sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\Rightarrow \sqrt[6]{{{5}^{2}}}=\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=\sqrt[3]{5}. \\ \end{align}\]

Но тогда получается какая-то хрень:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3]{5}\]

Этого не может быть, потому что $\sqrt[3]{-5} \lt 0$, а $\sqrt[3]{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

  1. Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
  2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $\sqrt[3]{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5} \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[6]{25}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[3]{5} \lt 0 \\ \end{align}\]

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

  1. Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
  2. Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\].
  3. 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Ну что? Потренируемся?

Пример 1. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{-\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{48}\cdot \left( -\sqrt[3]{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{\frac{4}{3}}= \\ & =-\sqrt[3]{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4; \end{align}\]

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{32}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[4]{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt[3]{{{2}^{2}}}=\sqrt[4\cdot 3]{{{\left( {{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left( {{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \\ & =\sqrt[12]{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt[12]{{{2}^{23}}} \\ \end{align}\]

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Пример 3. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}=\sqrt[6\cdot 3]{{{a}^{3}}\cdot {{\left( {{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt[18]{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \\ & =\sqrt[18]{{{a}^{27}}}=\sqrt[2\cdot 9]{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \end{align}\]

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

  1. Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
  2. В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

\[\begin{align} & \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}=\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3\cdot 2]{{{\left( {{a}^{4}} \right)}^{2}}}=\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[6]{{{a}^{8}}} \\ & =\sqrt[6]{a\cdot {{a}^{8}}}=\sqrt[6]{{{a}^{9}}}=\sqrt[2\cdot 3]{{{a}^{3\cdot 3}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \\ \end{align}\]

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:

\[\begin{align} & \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[2\cdot 4]{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt[2\cdot 4]{{{\left( {{5}^{2}}\cdot 3 \right)}^{2}}}= \\ & =\sqrt[4\cdot 2]{{{\left( 75 \right)}^{2}}}=\sqrt[4]{75}. \end{align}\]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

Смотрите также:

  1. Свойства арифметического квадратного корня
  2. Корень степени $n$
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
  4. Что такое ЕГЭ по математике 2012
  5. Наибольшее и наименьшее значение
  6. Задача 7: касательная к графику функции — 2

Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\), при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\)? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\)).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\), а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\), \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.  

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\): \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\), то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\), а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\), а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя   \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\);   \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\);   \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\).   \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\). Так как \(44100:100=441\), то \(44100=100\cdot 441\). По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\), то есть \(441=9\cdot 49\).
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\)). Так как \(5=\sqrt{25}\), то \[5\sqrt2=\sqrt{25}\cdot \sqrt2=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\] Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\).

 

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\). Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\), то есть \(4\sqrt2\).  

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\), поэтому \(\sqrt{16}=4\). А вот извлечь корень из числа \(3\), то есть найти \(\sqrt3\), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\)), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\)) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.  

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\), равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\).
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
Пример: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\).   \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\), модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\).   \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\). Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\), а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\)!   Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\), т.к. \(-\sqrt2<0\);

 

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\).   \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\), то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\); но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

 

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\), то \(a<b\); если \(\sqrt a=\sqrt b\), то \(a=b\).
Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\). Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\). Таким образом, так как \(50<72\), то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\). Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\).
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\)?
Так как \(\sqrt{49}=7\), \(\sqrt{64}=8\), а \(49<50<64\), то \(7<\sqrt{50}<8\), то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\).
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\). Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\[1ex] &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\[1ex] &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\).
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)!   \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\[1ex] &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!   \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\). Мы знаем, что \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\). Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\).
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\)). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\), \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\), \(120^2=14400\), \(130^2=16900\), \(140^2=19600\), \(150^2=22500\), \(160^2=25600\), \(170^2=28900\). Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\). Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\).
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\)? Это \(2^2\) и \(8^2\). Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\).
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\). Вуаля!

Как правильно делить корни растений

     Деление корней цветов просто необходимо, если вы решили сразу за одно «мероприятие» получить пару сильных и взрослых растений, которые в будущем будут готовы к цветению. Но если рассматривать этот вопрос с иной стороны, то можно сказать, что деление корней может негативно сказаться на состоянии растений, особенно при неправильной работе с корнями.

     Прежде чем разбирать вопрос – как делить корни, необходимо определиться с растениями, которые можно так размножать. Прежде всего, это травянистые экземпляры с хорошей корневой системой. Делить таким образом можно цветы и кустарники.

Алгоритм деления корней:

1. Цветок извлеките из грунта и стряхните большой ком земли.

2. Остатки почвы смойте водой, но не нужно полностью очищать корни, главное, чтобы почва не мешала вам при делении.

3. Оцените корневую систему, и решите, сколько взрослых цветов может получиться из этого одного экземпляра. Внимание обращайте на побеги и почки.

4. Осуществите обрезку побегов на высоту 10 см. Это мероприятие поможет использовать силы цветов для восстановления корней, а не роста побегов.

5. Если корневые отростки начали твердеть, и видно, что ничего хорошего с них не получиться, то эти корни срезают.

6. Желтые и сухие побеги, листья сразу уничтожают.

7. Обратите внимание на то, что центральная часть цветка делиться не должна. Вы отделяете лишь боковые корни.

8. Срезы обрабатывают древесным углем, а новые растения высаживают в специальные горшки.

Что вы еще должны знать о делении корней

      Не выполняйте этот процесс во время цветения растения. Лучше проводить его после этого периода. Если соблюсти эту рекомендацию сложно, то за пару дней перед процессом бутоны и цветы уничтожают, иначе цветок прижиться не сможет.

      Кустарник в открытой почве разделяют осенью, а комнатные цветы – весной. Перед извлечением растения из земли, грунт хорошо поливают, чтобы корневая система не повредилась. Ни в коем случае не тяните растение за наземную часть. Корневую систему вынимают вместе с грунтом, стуча по горшку. Если цветок растет на клумбе, то его осторожно подкапывают и достают при помощи садовых инструментов. Для минимального повреждения корневой системы используют острый нож. Корневую систему не ломайте руками! Это негативно скажется на состоянии будущего цветка.

Обратите внимание! Не делите куст на маленькие части, так как это может негативно сказаться на их росте и развитии. Приживаемость будет минимальной. Не забывайте, что на каждой части должны быть один взрослый побег.

      В открытую почву сразу высаживать растения нельзя, так как им нужен период восстановления, да и лучи солнца на растения повлияют негативно.

Польза размножения делением куста

     Кроме того, что растений становится больше, они еще и омолаживаются. Ведь спорить бессмысленно с тем, что биологический возраст всех живых существ не вечен, и растение не стало исключением. Так что вы можете при помощи деления корней обновить ваши многолетники без дополнительного выращивания рассады.

Корни и степени. Квадратный корень, кубический корень.

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 00 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Мы ожидаем от государства помощи нуждающемуся населению.

Мы ожидаем, что правительство принимает помощь малоимущим слоям населения.

Субъектный инфинитивный оборотный

Конструкция "именительный падеж с инфинитивом", или "субъектный инфинитивный оборотный", состоит из вводящего "глагола и инфинитива". В предложении она выполняет функцию сложного позвоночного (Сложный предмет).

Считается, что у него хороший отчет .

Говорят, что он сделал хороший доклад.

Известно, что над этим вопросом работали год. Известно, что они работают над этой проблемой уже год.

Этот оборот употребляется после глаголов, выражающих:

1) умственное восприятие: думать, рассматривать, знать, ожидать, верить и т.д .;

2) чувственное восприятие: видеть, слышать и т.д .;

3) утверждение, предположение, сообщение и т.д .: предполагать, сообщать, доказывать, проявлять, появляться, казаться, говорить;

а также после словосочетаний:

будет (маловероятно) вероятно, маловероятно, вряд ли

наверняка, наверняка обязательно, наверняка

Глаголы выйти, произвести оказываться, казаться казаться, появиться оказываться , доказать оказываться, случиться случаться в действительном залоге и при переводе всегда приобретают характер вводных слов.Остальные глаголы употребляются в форме страдательного залога, например, считается, считается, сообщается, сообщается, говорится, и др. и при переводе также приобретают характер вводных слов. В целом на русский язык субъектный инфинитивный оборот передается неопределенно-личным предложением.

Известно, что люди всех древних цивилизаций составляли карты . Известно, что люди всех древних цивилизаций составляли карты.

Похоже, ее не интересует специальность . Кажется, она не интересуется своей специальностью.

Температура в эти дни вряд ли упадет . Маловероятно (вряд ли), что температура понизится в эти дни.

Следует обратить внимание на перевод следующих слов в конструкции сложной тематики.

(он) сообщается. .. передают / сообщают / сообщается, что (он) ...

(он) считается. .. считают / считают, что (он)...

(он) считается ... считает / считает, что (он) ...

(он) считается ... считают / думают, что (он) ...

(он) понимается до ... нет имеющимся сведениям (он) ..., считают / считает, что (он) ..., согласно договоренности (он) ...

Ожидается, что (он) будет ...

(он) якобы ... говорят / считают, что (он) якобы ...

(он) слушается. .. имеются сведения, что (он) ...

(он) находится под присмотром. .. считается / / рассматривают, что (он) ...

(он) чувствуется. .. считают, что (он) ...

(он) кажется. .. кажется, что (он) ...

(он) оказывается ... по-видимому, (он)...

(он) скорее всего ... по-видимому, (он) ..., похоже на то, что (он) ..., по всей вероятности / вероятно (он) ...

(он) вряд ли ... маловероятно, чтобы (он) ..., ужас ли / вряд ли (он) ...

(он) случилось (случилось) с ... случайно (он) ..., случилось так, что (он) ...

уверен. .. ( он) обязательно / наверняка / определенно...

Упражнения

1. Переведите предложения на русский язык:

.

I.

1. Мы ожидаем, что эти явления были исследованы.

2. Все считают ее прекрасным организатором.

3. Мы обнаружили, что этот эффект неизвестен.

4. Они думали, что информация была опубликована недавно.

5. Зная, что он хорошо разбирается в психологии, я попросил его объяснить это правило.

6. Ученый ожидал, что его помощники получат новые данные.

7. Она хотела, чтобы он это сделал.

8. Они слышали, как он это отрицал.

9. Они объявили, что это закон.

10. Крупные державы ожидают, что переговоры состоятся в конце следующего месяца.

II.

1. Компьютеры, вероятно (наверняка) будут использоваться для изучения НЛО.

2. Система работает нормально.

3. Человечество обязательно вступило в эпоху автоматизации.

4. Машинные языки известны как языки низкого уровня.

5. Похоже, она хорошо владеет языками.

6. Известно, что он занимается изучением древней архитектуры.

7. Вроде исключение из правил.

8. Считается, что новый метод расследования дал хорошие результаты.

9. Считается, что компьютеры делятся на две группы в зависимости от выполняемой ими работы.

10. Ожидается, что результат будет соответствовать теоретическим предсказаниям.

III.

1. Я очень хочу, чтобы она сдала экзамен.

2. Он отошел в сторону, чтобы я прошел.

3. Студентам сложно перевести текст.

4. Для него было необычно выходить на улицу днем.

5. Я ждал, что он продолжит.

6. Стол был достаточно маленьким, чтобы разговор мог быть общим.

7. Для нас самое главное - рано начать.

8. Он попросил принести бумаги.

9. Она ничего не сказала, но уступила нам дорогу.

10. Он был настолько занят своей исследовательской работой, что ему было трудно находиться вдали от дома в течение нескольких недель.

2. Переведите следующие предложения, определяя инфинитивные обороты и функции инфинитивов.

1.Молекула имеет тенденцию к возбуждению.

2. Чтобы наблюдение было полезным, должны быть известны два факта.

3. Чтобы две молекулы вступили в реакцию, они должны контактировать.

4. Движение происходило достаточно долго, чтобы тела нагрелись.

5. Исследование с помощью рентгеновских лучей показало, что галогены даже в твердом состоянии содержат двухатомные молекулы.

6. Они обнаружили, что радон в 3 раза тяжелее водорода.

7. Примем объем этого тела равным v.

8. Потоки ионизированных частиц, которые, как предполагается, испускаются во время вспышек и иногда выходят из солнечной атмосферы и достигают Земли, вызывая внезапные магнитные бури, также имеют скорости правильного порядка.

9. Условие для того, чтобы лучи SA и SB усиливали друг друга при воссоединении в точке P, состоит в том, что их световые пути различаются на целое число длин волн.

10.Довольно часто используется так называемая вероятная ошибка, или ошибка, для которой, кажется, есть равная вероятность существования в случае любого наблюдения.

11. В астрономических предметах принято печатать с высокой контрастностью, чтобы визуализировать видимые детали, которые, вероятно (или даже наверняка) будут упущены из виду.

12. Теоретики не были уверены, действительно ли то, что наблюдатели считали ярчайшими звездами в галактике, действительно звездами.

13. В настоящем обсуждении было принято, что наблюдения склонения дают наилучшее представление о долготе Солнца.

14. Обсуждение слишком большого количества деталей и частных случаев не представляется желательным, поскольку оно может затемнять фундаментально важные моменты.

Тема № 4.

Причастие (Причастие)

Причастие (причастие) - это неличная форма глагола, сочетающаяся с признаками прилагательного или / и наречия с признаками глагола.Причастия на английском языке подразделяются на причастие I и причастие II.

Причастие Я могу быть образовано от любого глагола (как принимающего прямое дополнение, так и не принимающего его).

Наиболее употребительная форма причастия является простая (неперфектная) форма действительного залога, так называемая форма: чтение - читающий, обсуждение - обсуждающий.

Причастие I Глагол Залог
Действительный Страдательный
Неперфект. Переходный Создание Создается
Непереходный Собираюсь -
Перфект. Переходный Создав Создается
Непереходный уйдя -

Причастие I соответствует одновременно причастию действующего залога, оканчивающемуся на -щий, -вший, например, читающий, спешащий, читавший, спешивший, и деепричастию несовершенного вида, оканчивающемуся на -я, -а , например, читая, спеша.

Причастие I в предложении функций функций и обстоятельств.

Причастие II также может быть образовано от любого глагола, как переходного, так и непереходного: принято взятый (от переходного глагола взять).

Формы причастия II неизменяемы, то есть не имеют ни временных, ни залоговых, ни видовых различий.

Причастие II переводится на русский язык причастиями страдательного залога совершенного и несовершенного вида с суффиксами-окончанием: -нный, -мый, -имый, -тый, а также причастиями, образованными от возвратных глаголов: изобретено - изобретенный, изобретенный, изобретенный , построен - построенный, печатный - напечатанный и т.д.

Причастие II в предложении функций определения именной части составного именного сказуемого, части простого сказуемого, обстоятельств.

Функции причастия I и причастия II в предложении и способы их перевода

1. Определение (переводится причастием в функции определения или придаточным определительным предложением):

Проточная вода всегда прохладная. Проточная вода всегда прохладна.

Он ответил через запертую дверь . Он закрыл закрытую дверь.

В ближайшее время будет построено здание университета. Здание, в котором будет помещаться университет, будет скоро построено.

2. Обстоятельство (переводится деепричастием в функции обстоятельства или придаточным предложением):

Медленно повернувшись, она пошла в свою комнату. Медленно повернувшись, она пошла в свою комнату.

При переводе статьи обращался к справочникам. В то время как он переводил статью, он пользовался справочниками.

3. Часть составного именного сказуемого (переводится глаголами быть, стать и др. В сочетании с прилагательным, прилагательным причастием):

Не стал научным сотрудником . Он стал научным работником (исследователем).

Он выглядел усталым, но продолжал работать . Он казался усталым, но продолжал работать.

Причастие I и II может употребляться в конструкции, которая называется абсолютный, или независимый причастный оборот (Абсолютное долевое строительство) .

Обороты, в которых причастие I или IIимеет свое подавее , выраженное существительное в общем падеже или (реже)Такие обороты не соответствуют русским деепричастным оборотам, так как русское деепричастие всегда выражает действие, относящееся к вызываему предложения.

Независимые причастные обороты соответствуют в русском языке либо придаточным предложениям, либо самостоятельным предложениям. От остальной части предложения они отделяются запятой.

Погода (время) позволит, поедем за город . Если погода (время), мы поедем за город.

. Независимо от того, что предложено после того, как , так как оборотное исполнение в функции времени обстоятельств , причины, условия и переводится обстоятельством придаточным предложением.): Было воскресенье, в офисе никого не было. Так как была суббота, в офисе никого не было.

Если используется независимый перевод, используется союзы , а, и, да, но, в то время как, и он переводится самостоятельным предложением: Он мог сидеть так часами, его книги закрытый и лежащий рядом с ним. Он мог сидеть так часами, причем его книги были закрыты и лежали рядом.

Упражнения

1.Переведите предложения на русский язык.

1. Профессор рассказал студентам об экспериментах, проводимых в лаборатории.

2. Просмотрев все поступившие в тот день документы и письма, он позвонил своему секретарю.

3. Изучая рыночную экономику, мы должны понимать, что предприятие - это самая суть частной собственности и рыночных отношений.

4. Солнце взошло, и они продолжили свой путь.

5.Переговоры между двумя странами прошли за закрытыми дверями, приняты меры, чтобы корреспонденты не получали никакой информации.

6. Приведенные в отчете цифры опубликованы в последнем научном журнале.

7. Получив от врача рекомендации поехать на юг, она решила провести отпуск в Сочи.

8. Одной из наиболее заметных особенностей развития воздушного транспорта является значительное увеличение количества перевозимых грузов.

9. Управляя автомобилем ночью, он попал в аварию.

10. Обученный хорошим учителем, он хорошо знал немецкий язык.

11. Менделеев при изучении элементов обнаружил, что их можно разделить на девять групп.

12. Современные дома, построенные по-новому, имеют улучшенные условия.

13. Обычно тела расширяются при нагревании.

14. Роль малого бизнеса трудно переоценить.

15. Я не слышал ни о каком из упомянутых факторов.

16. Работы Адама Смита, за которыми последовали работы Карла Маркса и Джона Мейнарда Кейнса, представляют собой различные подходы, известные в экономической мысли.

17. Как указывалось ранее, данное объяснение никоим образом не является полным.

18. При фиксированном обменном курсе у населения есть все основания хранить свои сбережения в местной валюте.

19. Телефон вышел из строя, мне пришлось выйти, чтобы позвонить.

20. Работа сделана, я смог взять отпуск на неделю.

21. Делегаты прибыли из десяти стран, Великобританию представлял профессор Артур Кларк.

22. В комнате было темно, она сначала никого не увидела.

23. Растет городское население, большое внимание уделяется жилищному строительству.

24. Том начал отвечать на свой урок, миссис Гладстон внимательно наблюдала за ним.

2.Переведите предложения, обращая внимание на абсолютный (независимый) причастный оборотный.

1. Задача сложная, на ее выполнение у меня ушло три дня.

2. После того, как статья была переведена, он мог в свое удовольствие почитать какую-нибудь книгу.

3. Мировые запасы нефти подходят к концу, ученые задумываются об альтернативных источниках энергии.

4. С восходом солнца место аварии было хорошо видно.

5.Никакая другая сила не применяется, любой движущийся объект будет продолжать двигаться по прямой линии.

6. Путешествие на другие планеты требует огромных вложений, ни одна страна не может справиться с этой задачей в одиночку.

7. Промышленные предприятия сбрасывают отходы в реку, вода в которой непригодна для питья.

8. Переговоры подошли к концу, документы подписаны.

9. Организм, облученный дозой 20 рентген, мы видим в нем заметные изменения.

10. Существует опасность хронической лучевой болезни при систематических дозах облучения.

Тема № 5.

Герундий (Герундий)

Герундий (герундий) является неличной формой глагола. Он имеет свойства как глагола, так и действует как развивающийся процесс. В данном случае форма отсутствует: понимание - понимание; говорящий - говорение; танцы - танцы.

Герундий по форме совпадает с причастием I или перфектным причастием.

Напряженный Активный пассивный
Неопределенный письмо (Инфинитив + ing ) пишется (будучи + причастием II)
Идеально написав (имеющий + причастие II) написано (будучи + причастием II)

Герундий можно отличить от причастия по следующим признакам:

- глагольная форма с окончанием -ing является герундием, а не причастием, если перед ней стоит предлог, существительное в притяжательном падеже или притяжательное местоимение;

- герундий отличается от причастия по синтаксическим функциям: он может выполнять в предложении не только функции определения и обстоятельства, но и указанные функции и дополнения.Следовательно, глагольная форма с окончанием -ing является герундием, если она выполняет функции вызываего или дополнения. В тех же случаях, когда функции герундия и причастия совпадают, перед герундием стоит предлог.

- герундий переводится: инфинитивом, отглагольным существительным, деепричастием или личным глагола в функциях сказуемого придаточного предложения, вводимого союзом что (чтобы) с предшествующим ему местом в соответствующем падеже ( тем, о том и др .) . Примеры:

Полезно чтение книг (обращее). Чтение книг полезно. Читать книги полезно.

Нравится , читаю (прямое дополнение). Я люблю читать . Я люблю чтение .

Не настаивал на том, чтобы участвовали в конференции (предложенное дополнение). Он настаивал на участии (на том, чтобы принять участие ) в конференции.

Придя домой всегда отдыхает (обстоятельство). По приходе домой он всегда отдыхает. Приходя домой , он всегда отдыхает.

Действие, выраженное перфектным герундием, относится к прошедшему времени, поэтому он переводится на русский язык личный глагола в прошедшем времени.

Автор сообщает о , применив новый метод. Автор сообщает о том, что он применил новый метод.

Притяжательное местоимение или существительное, стоящее перед герундием, указывает на субъект или объект действия, выраженного герундием.(В первом случае герундий имеет форму действительного залога, во втором - страдательного):

Извините , что приеду поздно. Извините за опоздание. Простите , что я пришел поздно.

Я удивлен , получившим приз. Меня удивляет, что ему дали премию.

Герундий в функциях определения, как правило, вводится предлогами из или для и определить отвлеченные существующие типа вероятность - вероятность, способность - Способность и др . При переводе важно связать герундий с ранее стоящим существующим существительным:

Существует малая вероятность атмосферы , находящейся на этой планете. Маловероятно , чтобы у той планеты была атмосфера.

Герундиальные обороты


.

Промежуточная аттестация 11 класс

Промежуточная аттестация 11 класс

Вариант № 1

  1. Соответствие между заголовками A -

    24

    0 -

    24 900 и текстами 1-7. Используйте каждую букву только один раз . В задании один заголовок лишний.

A. Урожай E. Разведение

B. Этимология F. Выращивание

C. Токсичность G. Использование в кулинарии

D. Выращивание в помещении H. История

1. Авокадо возникло в Мексике. Аборигенный некультивируемый сорт небольшой, с темно-черной кожицей и крупными семенами. Самое древнее свидетельство использования авокадо, датируемое примерно 10 000 годом до нашей эры, было найдено в пещере в Мексике. Дерево авокадо также издавна выращивается в Центральной и Южной Америке. Кувшин с водой в форме авокадо, датируемый 900 годом нашей эры, был обнаружен в доинкском городе Чан Чан.

2. Слово «авокадо» происходит от испанского «агуакате». Авокадо был известен у ацтеков как «плод плодородия». В некоторых странах Южной Америки, таких как Аргентина, Боливия, Чили, Перу и Уругвай, авокадо известен под своим названием на языке кечуа «пальта». Плод иногда называют «грушей авокадо» или «грушей аллигатора» из-за его формы

и грубой зеленой кожуры. В некоторых частях Индии он известен как «масляный фрукт».

3. Дерево авокадо плохо переносит отрицательные температуры, и его можно выращивать только в субтропическом или тропическом климате.Сильный ветер снижает влажность, обезвоживает цветы и влияет на опыление. Даже при слабом морозе может произойти преждевременное опадание плодов. Деревьям также необходимы хорошо аэрированные почвы, в идеале глубиной более 1 м. Эти почвенно-климатические условия доступны только в некоторых регионах мира.

4. Среднее дерево авокадо дает около 500 авокадо ежегодно. Коммерческие сады производят в среднем семь тонн с гектара ежегодно, а в некоторых садах - 20 тонн с гектара.Авокадо - это климактерический фрукт, то есть он созревает на дереве, но созревает на дереве. Авокадо, используемое в торговле, собирают жестко и зелено и хранят в холодильниках до тех пор, пока не достигнут конечного пункта назначения.

5. Авокадо часто выращивают из косточки. Это делается путем удаления косточки со спелого авокадо, не охлажденного в холодильнике. Яму

помещают в кувшин или вазу с прохладной водой. Через четыре-шесть недель он должен расколоться, дать корни и дать росток

.Как только стебель вырастет на несколько дюймов, его помещают в горшок с почвой. Поливать нужно каждые несколько дней.

Известно, что авокадо быстро разрастается, поэтому владельцы должны быть готовы несколько раз пересаживать растение.

6. Плод не сладкий, а жирный, с отчетливым, но тонким вкусом. Он используется как в соленых, так и в сладких блюдах, хотя во многих странах не для обоих. Авокадо очень популярен в вегетарианской кухне в качестве заменителя мяса из-за высокого содержания жира.Как правило, авокадо подают в сыром виде, хотя некоторые сорта можно готовить в течение короткого времени, не становясь горькими. Авокадо также используют для приготовления салатов.

7. Подтверждено, что листья, кора, кожа или косточки авокадо вредны для животных.

Кошки, собаки, крупный рогатый скот и лошади могут быть серьезно повреждены или даже убиты, когда они их съедят. Листья авокадо содержат производное жирной кислоты персин, которое в достаточном количестве может вызвать у лошадей колики и, без ветеринарного лечения, смерть.Птицы также кажутся особенно чувствительными к этому соединению. Негативные эффекты у людей проявляются в первую очередь у аллергиков.

  1. Прочтите текст и заполните пропуски 8–13 частями предложений, обозначенными буквами A - G . Одна из частей в списке лишняя.

У каждого изобретения есть официальная дата рождения. Для Куба эта дата - 1974 8 __________. Имя изобретателя

ныне нарицательное слово «кубик Рубика».

Хотя в 1974 году появился куб, процессы, которые привели к изобретению, начались на несколько лет раньше. В то время Эрно Рубик преподавал в Академии прикладного искусства и ремесел в Будапеште.

В ходе своего обучения Эрно Рубик предпочитал передавать свои идеи с помощью реальных моделей, сделанных из дерева или пластика, 9 _________. Когда куб был завершен, Эрно Рубик продемонстрировал его своим ученикам и позволил некоторым друзьям поиграть с ним. Эффект был мгновенным. Однажды кто-то возложил руки на Куб,

10 _________! Навязчивый интерес друзей и учеников к Кубу застал его создателя врасплох, и прошли месяцы, прежде чем возникла мысль о возможности его производства в промышленных масштабах.

В 1978 году Куб начал проникать через руки очарованной молодежи в дома и школы 11_________. Задача овладеть Кубом, казалось, оказала гипнотизирующее воздействие на удивительное множество из

человек. Можно было увидеть бабушек, менеджеров банков, пилотов и библиотекарей, которые трудятся над своими Кубами в любое время дня. Но это были молодые, школьники и студенты, 12 _________ . Теперь Куб является частью семейства

головоломок и игр, несущих печать гения, создавшего величайшую трехмерную головоломку, которую когда-либо знал мир.

Эрно Рубик не сильно изменился за эти годы. Тесно сотрудничая с Seven Towns, он по-прежнему активно занимается созданием новых игр и головоломок и остается одним из

основных бенефициаров 13 ____________.

A. было трудно вернуть его

B. , который был первым шагом на долгом пути, который, наконец, привел к Кубу

C. , который оказался наиболее опытным в решении головоломки

Д., где он был окончательно отклонен

E. , который оказался впечатляюще успешным изобретением

F. , когда появился первый рабочий прототип

G. без какой-либо рекламы или рекламы

III . Заполните пропуски существительными, образованными от слов, напечатанных в конце строк заглавными буквами.

14. Вчера был убит известный ____________. ОТЧЕТ

15. Все понимают ____________ защиты окружающей среды. ВАЖНО

16. Многие редкие виды находятся под угрозой ___________. EXTINCT

17. Мы должны бороться за __________ исчезающих видов. EXIST

18. Миллионам людей в мире угрожает ___________. STARVE

19. Между ним и его отцом нет _________. ПЕРЕПИСКА

20.Через некоторое время эта работа теряет ____________. EXCITE

21. Простых __________ в проблеме загрязнения воздуха не существует. SOLVE

22. Вы должны сделать __________ в случае возникновения чрезвычайной ситуации. PROVIDE

23. В гонке участвовало более 1000 ___________. COMPETE

  1. Прочтите текст с пропусками, обозначенными номерами 25–34. Эти номера соответствуют определению 1–10, в которых представлены возможные варианты ответов.

Автостоп по Испании

Испания - это такое очевидное место для отдыха, что вы почти принимаете ее красоту как должное. (24) _________, это

вторая страна (после Италии) с наибольшим количеством объектов всемирного наследия ЮНЕСКО! Каждая деревня - это

настоящих средневековых красот! Так что, если вы увлекаетесь фотографией, Испания - определенно то место, куда можно пойти.

(25) ___________ , лучший способ познакомиться с Испанией - это автостоп. (26) ________ , Испания действительно легко путешествовать автостопом

с точки зрения погоды. (27) __________ Летом бывает довольно жарко, погода в целом приятная и редко

дожди. (28) ___________ , Испанцы дружелюбны и понимают идею автостопа, (29) _______ они обычно не просят денег. (30) ________ из-за общительности немногие местные жители говорят по-английски, поэтому перед поездкой неплохо выучить несколько испанских выражений.Если вы немного говорите по-испански, это может вам помочь.

(31) ___________ , автостоп может быть очень долгим; потребляющий. Причина этого может быть в том, что почти каждая семья

владеет автомобилем и, кажется, использует его абсолютно для всего. (32) ____________ , они часто навещают друзей в

соседней деревне или городе. (33) ___________ когда вы, наконец, получите подъемник, это может быть только 10 км, и тогда вам придется ждать еще 10 км подъемника.

Итак, если вы общительный человек и у вас много свободного времени, у вас обязательно будет шанс попутешествовать автостопом по Испании.

24. 1) Несмотря на 2) Кроме того 3) Более того 4) Тем не менее

25. 1) Помимо этого 2) На мой взгляд 3) Например 4) В результате

26. 1) Тем не менее 2) Что есть подробнее 3) Во-первых 4) Во-вторых

27. 1) Несмотря на 2) Несмотря на 3) Хотя 4) Однако

28. 1) Кроме того 2) Тем не менее 3) Напротив 4) Еще

29.1) например 2) поэтому 3) хотя 4) несмотря на

30. 1) несмотря на 2) несмотря на 3) в противном случае 4) хотя

31. 1) в результате 2) более того 3) поэтому 4) Тем не менее

32. 1) Однако 2) Поэтому 3) Например 4) На мой взгляд

33. 1) Прежде всего 2) Поэтому 3) Помимо этого 4) Напротив

Промежуточная аттестация 11 класс

Вариант № 2

  1. Соответствие между заголовками A -

    23

    0 и текстами 1-7.Используйте каждую букву только один раз . В задании один заголовок лишний.

A. Горящие предложения E. Образовательный тур

B. Лучшие уловы без ошибок F. Green travel

С. Пакетный отпуск G. Горное приключение

D. Праздник для самостоятельных путешественников H. Подводные исследования

1. La Baume is кемпинг для отдыха, который обслуживает палатки и караваны. Он разделен на две основные зоны, каждая

со своим собственным бассейном и удобствами. Они находятся в нескольких минутах ходьбы друг от друга, поэтому вы можете легко воспользоваться преимуществами обоих.La Baume

также может похвастаться небольшим сувенирным магазином, магазином купальных костюмов и супермаркетом, который предлагает большинство товаров, которые можно ожидать от местного магазина повседневных товаров.

2. Исследуйте Великобританию и Ирландию, зная, что ваши гиды заботятся об окружающей среде так же глубоко, как и о том, что вы получили взрыв

! SHAMROCKER и HAGGIS специализируются на аутентичных турах по Ирландии и Шотландии. Местные жители управляют компаниями с целью показать вам лучшие из своих земель, оказывая при этом как можно меньше негативных последствий.

3. Вот еще одно отличное предложение для круиза по Аляске. Вы начнете свое приключение в Ванкувере и зайдете в порты

Кетчикан и Скагуэй перед тем, как высадиться в Сьюарде. Если вы думали, что возможность позволить себе круиз мечты на Аляску недостижима, подумайте еще раз. Обратите внимание на этот семидневный круиз, стоимость которого начинается всего в 349 долларов с человека, но вы должны быстро его совершить, так как до даты отправления осталось всего несколько дней.

4. Позвольте нам забрать вас из выбранных мест для вашего дня в Космическом центре Кеннеди! Послушайте экспертный рассказ

от наших знающих гидов, пока мы останавливаемся, чтобы посмотреть на стартовые площадки космического шаттла с высоты птичьего полета.Посмотрите другие шоу и экспонаты в Комплексе для посетителей, в том числе возможность встретиться с настоящим космонавтом на шоу «Встреча астронавтов». Попробуйте свои силы в консоли управления миссией и совершите виртуальную лунную прогулку, прежде чем вернуться домой!

5. Каникулы для дайвинга - это гораздо больше, чем когда кто-то вручает вам баллон, транспортирует к месту погружения и говорит: «Развлекайтесь». Дайверы хотят большего. Сегодня яхты Aggressor Fleet покрывают земной шар в двенадцати разных странах, и список экзотических направлений продолжает расти.Яхты имеют частные каюты, шеф-повара на борту и лабораторию по обработке слайд-пленки

- удобства, которые были неслыханными на прогулочных лодках для дайвинга.

6. Совершите многовековой поход по тропе инков, самый известный из пеших туров Перу. Если вы хотите познакомиться с культурой, историей и величием

Перуанских Анд, эта поездка для вас. От хорошо сохранившихся руин Мачу

Пикчу до пышных облачных лесов и заснеженных пиков этот десятидневный тур обещает незабываемые впечатления в Перу

приключенческих путешествий.Какой бы маршрут вы ни выбрали, этот отпуск обязательно оправдает ваши самые смелые ожидания.

7. Не только источник предлагает отличную рыбалку. Эти озера и реки с пограничными водами предлагают отличные возможности для рыбной ловли в течение всего сезона. Наши гиды живут рыбной ловлей в этих водах и помогут вам избавиться от часов проб и ошибок на воде. Они там, чтобы посадить вас на рыбу! Не говоря уже о добавлении повара в лагере. Просыпайтесь утром от запаха свежесваренного кофе и завтрака, который готовится на огне.

  1. Прочтите текст и заполните пропуски 8–13 частями предложений, обозначенными буквами A - G . Одна из частей в списке лишняя.

Как говорится ... «вода, вода везде». Ну сколько там воды; где эта вода; как он

перемещается?

Трудно представить, что значит отсутствие чистой воды для питья.Вода в мире не разделена поровну. В одних местах много, в других - очень мало. В некоторых странах водоснабжение - большая проблема. Некоторые люди в Африке носят воду из ямы 8 __________. Этого источника воды может даже не быть в их городе, и им придется отправиться за ней. Некоторые дети писали о том, что у них в школе грязная вода, и что иногда дети заболевают от нее. Интересно 9 __________.

Мы думали, что у Соединенных Штатов не было ни одной из этих проблем, но мы ошибались.В Аппалачах, в южной части Соединенных Штатов, есть несколько домов 10 ___________.

В Аризоне в рамках проекта «Центральная Аризона» вода подается из реки Колорадо. Это проблема для мест, которые раньше получали большую часть воды из реки Колорадо 11 __________. Существуют правила относительно того, сколько воды

можно брать из рек. Некоторые реки на Западе достигли этого предела. Есть «водные войны», когда люди спорят более 12 __________.

Проблема водоснабжения заставляет многих людей искать новые способы более эффективного использования воды. Каждый раз, когда мы его используем, мы забираем воду с Земли. Мы знаем, как он течет на поверхности и под землей 13 __________. В последние несколько лет многие домохозяйства использовали дождевые бочки, прикрепленные к водосточной трубе своих желобов, для хранения и использования дождевой воды для лужайки и сада. Если мы не проведем лишние пять минут в душе или не пустим воду во время чистки зубов, мы сможем изменить ситуацию!

А., имеющий право пользоваться водой

B. , обеспечивающий людей большей частью воды

C. , пробуренный или закопанный в землю

D. , у которого еще нет водопровода вода

E. , пока она не дойдет до нас

F. что мы можем с этим сделать

G. , потому что они не могут получить столько сейчас

III . Заполните пропуски существительными, образованными от слов, напечатанных в конце строк заглавными буквами.

14. Много денег было потрачено на __________ новой больницы. ОБОРУДОВАНИЕ

15. Вскоре я пришел к __________, что она лгала. ЗАКЛЮЧИТЬ

16. Джейн - лучшая ___________ в нашей группе. SWIM

17. Знаете ли вы правильное __________ этого слова? PRONOUNCE

18. __________ может иметь множество причин. DISOBEY

19. Картина была куплена частным ___________. КОЛЛЕКЦИЯ

20. Мне просто нужно сделать несколько ___________, прежде чем мы сможем напечатать статью. ПРАВИЛЬНО

21. Техническое __________ предоставляется бесплатно. ASSIST

22. Это ______________ появилось в трех газетах. РЕКЛАМА

23. Г-н Портер просит заключить договор ____________. EXTEND

  1. Прочтите текст с пропусками обозначенными номерами 25–34.Эти номера соответствуют определению 1–10, в которых представлены возможные варианты ответов.

Автостоп по Испании

Испания - это такое очевидное место для отдыха, что вы почти принимаете ее красоту как должное. (24) _________, это

вторая страна (после Италии) с наибольшим количеством объектов всемирного наследия ЮНЕСКО! Каждая деревня - это

настоящих средневековых красот! Так что, если вы увлекаетесь фотографией, Испания - определенно то место, куда можно пойти.

(25) ___________ , лучший способ познакомиться с Испанией - это автостоп. (26) ________ , Испания действительно легко путешествовать автостопом

с точки зрения погоды. (27) __________ Летом бывает довольно жарко, погода в целом приятная и редко

дожди. (28) ___________ , Испанцы дружелюбны и понимают идею автостопа, (29) _______ они обычно не просят денег. (30) ________ из-за общительности немногие местные жители говорят по-английски, поэтому перед поездкой неплохо выучить несколько испанских выражений.Если вы немного говорите по-испански, это может вам помочь.

(31) ___________ , автостоп может быть очень долгим; потребляющий. Причина этого может быть в том, что почти каждая семья

владеет автомобилем и, кажется, использует его абсолютно для всего. (32) ____________ , они часто навещают друзей в

соседней деревне или городе. (33) ___________ когда вы, наконец, получите подъемник, это может быть только 10 км, и тогда вам придется ждать еще 10 км подъемника.

Итак, если вы общительный человек и у вас много свободного времени, у вас обязательно будет шанс попутешествовать автостопом по Испании.

24. 1) Несмотря на 2) Кроме того 3) Более того 4) Тем не менее

25. 1) Помимо этого 2) На мой взгляд 3) Например 4) В результате

26. 1) Тем не менее 2) Что есть подробнее 3) Во-первых 4) Во-вторых

27. 1) Несмотря на 2) Несмотря на 3) Хотя 4) Однако

28. 1) Кроме того 2) Тем не менее 3) Напротив 4) Еще

29.1) например 2) поэтому 3) хотя 4) несмотря на

30. 1) несмотря на 2) несмотря на 3) в противном случае 4) хотя

31. 1) в результате 2) более того 3) поэтому 4) Тем не менее

32. 1) Однако 2) Поэтому 3) Например 4) На мой взгляд

33. 1) Прежде всего 2) Поэтому 3) Кроме того 4) Напротив

Ключи:

Вариант № 1

I.

  1. H

  2. B

  3. F

  4. D

  5. G

  6. C

II.

  1. F

  2. B

  3. A

  4. G

  5. C

  6. 4

    0

  7. 4 E

    14 - репортер

    15 - важность

    16 - вымирание

    17 - существование

    18 - голодание

    19 - сходство 900 - сходство

    900 - восторг.

    21- решения

    22- положения

    23- конкуренты

    IV.

    24-4

    25-2

    26-3

    27-3

    28-1

    29-2

    30-1

    31-4

    32-3

    33-2

    Вариант № 2

    I.

    1. 4

    2. 4

    3. F

    4. A

    5. E

    6. H

    7. G

    8. B 6 II

      1. C

      2. F

      3. D

      4. G

      5. A

      6. 4

      7. 4 E

        14 - оборудование

        15- вывод

        16- пловец

        17- произношение

        18- неповиновение

        1 900- коллектор

        21- помощь

        22- реклама

        23- добавочный

        IV.

        24-4

        25-2

        26-3

        27-3

        28-1

        29-2

        30-1

        31-4

        32-3

        33-2

        .

        ГДЗ по английскому языку для 11 класса, Биболетова, Блок 1, Раздел 3, 4, 5

        Упражнения из рабочей тетради по английскому языку для 11 класса с ответами. Для всех, кто изучает английский язык, выполнение этих упражнений - прекрасный способ потренироваться и выявить пробелы в знаниях.

        Enjoy English Workbook 1

        Раздел 1 С чем молодые люди сталкиваются в современном обществе?
        Раздел 1 »
        Раздел 2»
        Раздел 3
        Упражнение 1. Используйте соответствующие предлоги из коробки.
        для от до от до для с

        быть терпимым ___ другие культуры
        быть зависимым ___ импортное сырье
        быть финансово независимым ___ родители
        нести ответственность ___ финансовый крах
        объект ___ планы строительства
        спорить ___ противники
        бой ___ социальные права

        Ответы:
        Упражнение 1. Используйте подходящие предлоги из рамок.

        быть терпимыми другие культуры
        быть зависимыми от импортируемого сырья
        быть финансово независимыми от родителей
        нести ответственность за финансовый крах
        объект планы строительства
        спорить с противниками
        бороться для социальных прав

        Упражнение 2. Составьте прилагательные из следующих существительных и запишите их в соответствующий столбец.
        уверенность аллергия разница эффект разговора зависимость исключение аутентичность период ухода учетная запись комфорт политика споры о принятии расходов апелляционная бум
        -able -al, -ial -ing
        1
        2…

        Ответы:
        Упражнение 2.Образуйте прилагательные из следующих существительных и запишите их в соответствующую колонку.

        -ive -ic -ent
        эффективный подлинный зависимый
        дорогой аллергический уверенный
        эксклюзивный периодический другой
        -able -al, -ial -ing
        ответственный политический привлекательный
        удобный разговорный заботливый
        приемлемый противоречивый подъем

        Упражнение 3. Перефразируйте предложения, используя пассивную структуру модальный + be + V 3 .

        1. Вы должны написать свои предложения и отправить их преподавателю до следующего вторника.
        2. Никогда не пренебрегайте своими домашними животными, поскольку они не могут позаботиться о себе сами.
        3. Мы должны узнать правду и немедленно опубликовать историю.
        4. Власть не должна держать людей в неведении относительно их политических и социальных прав.
        5. Никто не должен оскорблять людей из-за их национальности или религиозных убеждений.
        6. Правительство должно защищать право пожилых людей на достойный уровень жизни.

        Ответы:
        Упражнение 3. Перефразируйте предложения, используя пассивную конструкцию.

        1. Ваши предложения должны быть написаны и переданы преподавателю до следующего вторника.
        2. Никогда нельзя пренебрегать домашними животными, поскольку они не могут позаботиться о себе.
        3. Необходимо раскрыть правду и немедленно опубликовать историю.
        4.Люди не должны оставаться в тени своих политических и социальных прав.
        5. Люди никогда не должны подвергаться насилию из-за их национальности или религиозных убеждений.
        6. Право пожилых людей на достойный уровень жизни должно защищаться государством.

        Упражнение 4. Используйте подходящие модальные глаголы.

        Большинство людей знают о своих правах, но они ___ (1) забывают, что права влекут за собой обязанности. Если человек имеет право на образование, это означает, что общество ___ (2) предоставляет ему возможность его получить.Человек, в свою очередь, ___ (3) делает все возможное, чтобы получить знания и навыки и внести свой вклад в создание хорошей рабочей среды в классе. В противном случае он ___ (4) злоупотребляет правами других людей:

        • тех из одноклассников, которые ___ (5) будут лишены своего права из-за ненадлежащих условий труда;
        • те из сотрудников, которые ___ (6) работают в неблагоприятной среде;
        • те из множества налогоплательщиков, которые ___ (7) чувствуют, что их деньги тратятся зря.

        Ответы:
        Упражнение 4. Используйте подходящие модальные глаголы.

        (варианты ответов)
        1. не должен; 2. должен; 3. следует; 4. может / может; 5. может / май; 6. должны; 7. may / can / will

        Exercise 5. Сгруппируйте связывающие устройства из списка в соответствии с их функциями. Запишите их.
        также
        в результате
        помимо
        , но
        , наконец,
        , в первую очередь,
        , в первую очередь,
        , например,
        , например,
        , далее
        , однако
        в заключении
        в итоге
        кроме того
        , тем не менее
        затем
        во вторую очередь
        так
        таким образом,
        , чтобы начать с
        , чтобы заключить
        , чтобы подвести итог
        , чтобы подвести итог
        , но еще

        вводя: ___
        идей последовательности: ___
        выражая контраст: ___
        излагая результаты: ___
        приводя примеры: ___
        добавляя: ___
        вывод: ___

        Ответы:
        Упражнение 5.Сгруппируйте соединительные слова из списка согласно их функции. Запишите их.

        введение: для начала, во-первых,
        идей секвенирования: во-первых, во-вторых, наконец, во-первых, затем, наконец,
        , выражающих контраст: но, тем не менее, все же
        излагающих результаты: так, таким образом, как результат
        с примерами: например, например,
        добавление: кроме того, также, кроме того, более
        заключение: подытожить, подвести итог, подвести итог, в заключение

        Упражнение 6. Заполните эссе. Используйте соответствующие слова-связки (см. Пример 5).

        Право, которое я считаю самым важным

        Некоторые люди не осведомлены о своих правах. Например, большинство моих друзей никогда не задумывались о Конвенции ООН о правах ребенка. Хотя на самом деле там перечислено множество прав. Некоторые из них жизненно важны.

        Я лично считаю, что самое важное право, помимо права на жизнь, конечно же, - это право ___

        Подводя итог, я хочу выделить идею о том, что разные люди будут выдвигать разные права на Право № 1.Вот почему нужно соблюдать все права и пренебрегать ни одним из них.

        Ответы:
        Упражнение 6. Завершите эссе. Используйте подходящие связывающие слова (см. Упр. 5).

        (возможный ответ)
        Я лично считаю, что самое главное право, помимо, конечно, права на жизнь, - это право на образование. Наш мир предъявляет к людям строгие требования, и самое важное - это получение хороших знаний. Я считаю, что у ребенка должна быть возможность учиться, потому что это поможет ему в будущем.К сожалению, в некоторых странах это право нарушается, так как многие дети не ходят в школу.

        Раздел 4
        Упражнение 1. Вычеркните слово, которое не подходит к слову политика.
        национальный
        международный
        агрессивный
        внутренний
        внутренний
        ПОЛИТИКА общительный
        реалистичный
        гибкий
        спорный
        мирный

        Ответы:
        Упражнение 1.Вычеркните слово, какое не может Роман со словом «политика».

        общительный

        Упражнение 2. Выберите и обведите пять наиболее важных характеристик успешного политика.

        красивый, коммуникативный, умный, образованный, ответственный, свободно владеющий языками, амбициозный, практичный, агрессивный, начитанный, гибкий, талантливый, трудолюбивый, творческий.

        Упражнение 2. Выберите и введите в кружок пять наиболее важных качеств успешной политики.

        Упражнение 3. Напишите несколько строк, чтобы развить следующие утверждения.

        1. Политический лидер должен быть коммуникативным, потому что ___
        2. Политический лидер должен свободно владеть языками, потому что ___
        3. Политический лидер должен нести ответственность, потому что ___

        Ответы:
        Упражнение 3. Напишите несколько строк , продолжая следующее утверждение.

        (возможные ответы)
        1.… он / она должен общаться с людьми / должен уметь находить сторонников для продвижения своих идей / нуждается в популярности среди людей.
        2.… ему необходимо общаться с другими политиками в разных странах. Легче прийти к соглашению, если политик знает язык. Политик также должен уметь читать газеты и документы на разных языках, чтобы иметь более легкий доступ к информации.
        3.… его решения влияют на многих людей. Неправильные решения причиняют людям много вреда и делают их несчастными. Политик должен быть очень осторожным и предвидеть результат своих действий.

        Упражнение 4. Используйте глаголы, набранные ЗАГЛАВНЫМИ БУКВАМИ в соответствующих формах.

        А: Привет! Что ты делаешь?
        B: Вы просто просматриваете Интернет, разве не видите?
        A: Зачем? ___ (1) ни на что? (ВЫ / СМОТРИТЕ)
        B: Да, мне нужно написать эссе о политическом лидере. Я ___ (2) уже час, но я действительно не знаю, кого выбрать. (ОБЗОР)
        A: Это означает, что вы совершенно равнодушны к политике, не так ли?
        B: Верно. Я ___ (3) заинтересовался этим пару лет назад.Я даже проанализировал результаты выборов и почувствовал себя ущемленным тем, что ___ (4) еще не имею права голоса. Однако сейчас я думаю, что есть вещи поважнее политики. (ИСПОЛЬЗУЕТСЯ, НЕТ / ИМЕЕТ)
        A: Понятно. Но о ком вы все-таки собираетесь писать?
        B: Не знаю. Совершенно не имею понятия.
        A: Ну, это просто пришло мне в голову ... Если бы я был на вашем месте, я ___ (5) о Беназир Бхутто. (НАПИСАТЬ)
        B: Кто он?
        A: Не он, а она. Она была видным политиком и харизматичной личностью.
        B: Расскажите мне о ней поподробнее.___ (6) политик - тяжелая работа, особенно для женщин. (BE)
        A: Ну, биографы Бхутто думают, что она родилась, чтобы стать политиком, поскольку она была старшим ребенком в семье Зульфикара Али Бхутто, премьер-министра Пакистана. Она была первой женщиной, которая ___ (7) управляла мусульманским государством - она ​​дважды возглавляла Пакистанскую народную партию и ___ (8) пост премьер-министра в 1988–1990 и в 1993–1996 годах. (ВЫБРАТЬ, ЗАНЯТЬ)
        B: Звучит впечатляюще. Продолжай.
        A: Ее политическая карьера шла нелегко.У нее было много противников и ___ (9) успехов и неудач. Политика - вещь очень противоречивая: никогда не знаешь, что правда, а что нет. Однажды Беназир ___ (10 лет) в коррупции, но потом обвинения были сняты. Думаю, это уловка ее оппонентов. (ОПЫТ, ОБВИНЕНИЕ)
        B: И она все еще в политике?
        A: К сожалению, нет. Она была ведущим кандидатом от оппозиции на всеобщих выборах 2008 года и, я думаю, имела хорошие шансы стать президентом Пакистана. Но Беназир Бхутто ___ (11) за две недели до всеобщих выборов в Пакистане.(УБИЙСТВО)
        B: Вы имеете в виду, что это не было несчастным случаем?
        A: О нет! Это было убийство, убийство в политических целях. Несколько выстрелов ___ (12) по ее машине. Один из них стал причиной ее смерти. (ОГОНЬ)
        B: Я чувствую, что хочу узнать больше об этой выдающейся женщине. Не могли бы вы написать ее имя по буквам - я введу его в строку поиска.

        Ответы:
        Упражнение 4. Поставьте слова, набранные ЗАГЛАВНЫМИ БУКВАМИ, в нужную форму.

        1. Вы ищете
        2.просматривал
        3. использовал
        4. не имел
        5. писал
        6. был
        7. был избран
        8. был занят
        9. имел опыт
        10. был обвинен
        11. был убит
        12. уволены

        Упражнение 5. Разгадайте «Политическую головоломку».

        1. Маргарет Тэтчер была лидером… партии и премьер-министром Великобритании. (12 писем)
        2. Реалистичные политические лидеры считают, что разногласия следует разрешать посредством…, а не посредством вооруженных конфликтов.(12 писем)
        3. Партия… - одна из двух основных современных политических партий США. (10 писем)
        4. Когда люди хотят поддержать кандидата, они ... за него на политических выборах. (4 буквы)
        5. Когда люди меняют политическую систему силой, они делают…. (10 букв)
        6. Многие бывшие колонии потратили столетия, чтобы стать… государствами. (11 писем)
        7. Все, что связано с политикой, называется… вопросами. (9 писем)
        8.… вопросы вызывают массу разногласий, потому что у людей разные мнения по ним.(13 писем)
        9.… главный законотворческий институт Великобритании. (10 писем)
        10. Гордон Браун стал лидером… Партии Великобритании в 2007 году. Ему предшествовал Тони Блэр. (6 писем)
        11. Прогрессивные политические лидеры продвигают идеи культурного, политического и религиозного…. (9 писем)
        12. Неразумная экономическая политика может привести к экономическому…, что ведет к безработице и инфляции. (6 букв)

        Ответы:
        Упражнение 5. Решите «политическую головоломку».

        1. Консерватор
        2. Переговоры
        3. Республиканец
        4. Голосование
        5. Революция
        6. Независимый
        7. Политический
        8. Спорный
        9. Парламент
        10. Трудовой
        11. Толерантность
        12. кризис

        Раздел 5
        Упражнение 1. Отметьте то, без чего вы не можете обойтись. Завершите отрывки.
        плита
        стиральная машина
        кондиционер
        газонокосилка
        посудомоечная машина
        макияж
        дезодорант для тела
        воздушный дезодорант
        спрей для укладки волос
        мыло
        зубная паста
        лосьон для снятия макияжа
        лосьон после бритья
        шампунь
        гель для душа
        духи
        одноразовые бумажные салфетки
        пластиковая посуда

        Я знаю, что использование ___ может быть вредным для окружающей среды, но я не могу без него обойтись.Мне нужно ___, когда ___.
        Я легко могу обойтись без ___. Мне это не нужно, потому что ___.

        Ответы:
        Упражнение 1. Отметьте вещи, без которых вы не можете обойтись. Дополните предложения.

        (возможный ответ)
        Я знаю, что использование пластиковой посуды может нанести вред окружающей среде, но я не могу без этого. Они мне нужны, когда я иду на пикник с друзьями, потому что нести обычную посуду тяжеловато. К тому же мыть их нужно было очень долго.
        Я легко могу обойтись без геля для душа. Мне это не нужно, потому что я использую мыло.

        Упражнение 2. Сопоставьте слова, чтобы получить значимые выражения.
        вредно
        мыло
        пластик
        органическое
        отходы
        одноразовые
        пена
        пищевые продукты
        для окружающей среды
        ткань
        контейнер
        энергии

        Ответы:
        Упражнение 2. Соотнесите слова, чтобы получить устойчивые словосочетания.

        вредно для окружающей среды
        мыльная пена
        пластиковый контейнер
        органические продукты питания
        отходы энергии
        одноразовая ткань

        Упражнение 3. Прочтите тексты. Найдите и запишите слова, которые означают:
        вещи могут называться так, когда они могут существовать или использоваться вместе
        , предназначенные для выбрасывания после того, как вы использовали их один или несколько раз
        чрезвычайно
        из отходов
        положить что-то в контейнер, но не в первый раз
        плоский кусок пластика, металла или дерева с приподнятые края, используемые для переноски таких вещей, как тарелки или еда
        Дата, напечатанная на предмете покупки, которая показывает, что после этой даты еда может быть менее безопасной или менее эффективной

        Мелкие преступления против the planet

        Этот освежитель воздуха называется «Sweet Baby», и если его распылить, в вашей комнате будет запах парфюмированных детских подгузников.Возможно, вам это не понравится, особенно если у вас нет или вы хотите ребенка. Более того, этикетка на нем открыто заявляет, что это вредно для окружающей среды. Что нового в этом, так это то, что этот освежитель воздуха работает от электричества, а это означает, что вы будете тратить энергию впустую, наполняя воздух нежелательными ароматами. Если вы используете освежитель воздуха на 15 часов в день, одного наполнения хватит на 80 дней.

        Сходите в любую аптеку, и вы найдете их множество: салфетки для снятия макияжа, салфетки для рук, зубные салфетки, салфетки для дерева, салфетки для собак, салфетки для окон и салфетки из листьев комнатных растений, каждая из которых содержит какое-то особое соединение, которое делает их особенно подходящими для определенный тип использования.Вся промышленность по производству салфеток использует идею о том, что существует отдельная одноразовая ткань для каждой работы. На самом деле я считаю, что многие из них совершенно не нужны. Например, я бы не стал покупать какие-либо салфетки для листьев комнатных растений, так как я промываю растения мягкой мыльной пеной под приятным прохладным душем! И им это нравится!

        Значит, вы не любите готовить? Тогда это изобретение для вас! Набор состоит из картонного футляра, пластикового подноса, бургера с говядиной, булочки, чипсов, томатного соуса и противня из фольги, в котором все готовится.Все заворачивают отдельно и кладут в коробку или пакетик. Но здесь есть больше, чтобы выбросить, чем есть, и срок годности дает вам только 24 часа, прежде чем все это будет отправлено в корзину в закрытом виде. Кажется, производители готовых блюд думают, что у вас на кухне нет ничего, кроме микроволновой печи!

        Из-за них мне хочется кого-нибудь убить! Вы также можете быть знакомы с этим ужасным продуктом, если у вас есть дешевая электрическая газонокосилка: стальные лезвия газонокосилки были заменены одноразовыми пластиковыми, и они едва могут прослужить 15 минут.На самом деле они не стригут траву, а измельчают ее, и только один сорт совместим с вашей косилкой. Удивительно, но говорят, что этикетка сделана из 100% переработанной бумаги.

        Как вы думаете, возможно ли быть на 75% органическим? Я так не думаю! Этикетка на упаковке этого свежего салата говорит, что он на 100% органический, и предлагает нам оценить его качество. Более того, он говорит, что он живой и гидропонный, что является просто другим способом сказать, что он выращен в воде. Я не сразу понимаю, почему это означает, что салат должен быть помещен в толстую пластиковую индивидуальную коробку и экспортирован из Канады.Некоторые люди готовы платить больше за органические продукты, полагая, что они делают это отчасти из-за заботы об окружающей среде, но это не совсем так.

        Ответы:
        Упражнение 3. Прочтите тексты. Найдите и выпишите слова, которые означают:

        1. совместимый
        2. одноразовый
        3. чрезвычайно
        4. переработанный
        5. заправка
        6. лоток
        7. срок годности

        Упражнение 4. Заполните слова из коробки.
        одноразовая совместимая переработанная упаковка духов

        1.Да, покупаю эту вазу. Не могли бы вы ___ это, пожалуйста?
        2. Я собрал все для пикника. У нас есть чипсы, напитки, немного мяса и ___ блюд и стаканов.
        3. Я хотел установить эту компьютерную игру, но она не ___ с моим компьютерным программным обеспечением.
        4. Хотела нанести ___, но передумала - у друга на него аллергия.
        5. Посмотрите, эти книги сделаны из ___ бумаги, но качество очень хорошее.

        Ответы:
        Упражнение 4. Заполните пропуски словами из рамок.

        1. обертка
        2. одноразовая
        3. совместимая
        4. духи
        5. вторичная переработка

        Упражнение 5. При необходимости заполните предметы.

        Алиса: Ты выглядишь такой загорелой в ___ (1) середине зимы! Что вы для этого делаете? Вы выглядите так, как будто вы только что приехали с ___ (2) солнечного морского курорта.
        Моника: Если бы это было правдой. Но нет, это прозаичнее. Это ___ (3) искусственный загар - я его сделала в солярии. Его можно купить по ___ (4) разумной цене, и он находится прямо возле моего дома.
        Алиса: Я никогда не была в солярии. На что это похоже?
        Моника: О, они могут быть разными. ___ (5) солярий, в котором я был, очень маленький, там есть ___ (6) кровать и ___ (7) несколько ярких ламп. Вам нужно лечь на спину с закрытыми глазами, а затем перекатиться и лечь на ___ (8) живот.
        Алиса: А вы уверены, что загорать в солярии достаточно безопасно? Боюсь, это может быть опасно для кожи ___ (9), не так ли?
        Моника: Конечно, может. Вот почему очень важно следить за тем, чтобы вы не превышали ___ (10) раз, рекомендованное для каждого сеанса.Не пытайтесь получить все за один раз.
        Алиса: Но я слышала, что ___ (11) безопасность также зависит от ___ (12) оборудования, используемого в солярии. Если ___ (13) лампы старые или не обслуживаются должным образом, вы можете обжечься.
        Моника: Возможно, в некоторой степени вы правы. Я знаю, что ___ (14) врачей не рекомендуют часто пользоваться солярием. Но мне нравится, когда моя кожа выглядит загорелой…
        Алиса: Вы, наверное, можете рассмотреть возможность использования косметики ___ (15) вместо этого. Знаете, есть кремы, которые могут придать вашей коже ___ (16) оттенок загара, если вы будете их регулярно использовать.

        Ответы:
        Упражнение 5. Вставьте артикли, где это необходимо.

        1. the; 2. а; 3. ан; 4. а; 5. The; 6. а; 7. а; 8. the; 9. -; 10. the; 11. -; 12. the; 13. the; 14. -; 15. -; 16. а.

        Упражнение 6. Введите предлоги, чтобы завершить выражения. Проверьте свои ответы в тексте.

        1. дополнительно ___ Конвенция
        2. заниматься ___ торговлей
        3. Соглашение пришло ___ сила
        4. заниматься ___ изменением климата
        5.способствовать ___ социально-экономическому росту
        6. Необходимы изменения ___ много причин

        Киотский протокол

        Киотский протокол является дополнением к Конвенции Организации Объединенных Наций об изменении климата.
        Страны, ратифицировавшие этот протокол, обязуются сократить выбросы углекислого газа и пяти других парниковых газов. Промышленно развитые страны определили цели по сокращению выбросов и могут участвовать в торговле выбросами или в том, что называется «Совместным внедрением».Наконец, страны могут принять участие в третьем инструменте - «Механизме чистого развития».
        Киотское соглашение ратифицировала 141 страна. Известные исключения включают США и Австралию. Соглашение вступило в силу 16 февраля 2005 г. после ратификации Россией.
        Киотский протокол может показаться лишь небольшим первым шагом к борьбе с изменением климата, но он важен. Мы должны найти способы внести свой вклад в социально-экономический рост и в то же время снизить выбросы парниковых газов.
        Но главные изменения наших энергетических систем, которые требуются, заключаются не только в уменьшении их вредного воздействия, но и в решении проблемы нехватки нефти, безопасности наших энергоснабжения и даже мира во всем мире.

        Ответы:
        Упражнение 6. Вставьте предлоги, чтобы дополнить выражения. Проверьте свои ответы по тексту.

        1. до
        2. в
        3. в
        4. с
        5. до
        6. для

        Упражнение 7. Ответьте на вопросы.Приведите аргументы в поддержку вашей точки зрения.

        1. Что, по вашему мнению, является самой большой угрозой для людей сегодня? Это глобальная война, глобальное потепление, болезни, стресс или что-то еще?
        2. Как, по вашему мнению, люди могут уменьшить негативное воздействие своей деятельности на окружающую среду?
        3. Что должны делать люди, чтобы ваш регион / город стал более безопасным и приятным местом для жизни?

        Упражнение 8. Послушайте людей и заполните таблицу.

        [Нажмите, чтобы прослушать аудио ►]

        причины против использования мобильных телефонов во время вождения причин для использования мобильных телефонов за рулем действий по предотвращению использования мобильных телефонов во время вождения
        1
        2…

        Ответы:
        Упражнение 8.Послушайте, что говорят люди, и заполните таблицу.

        (возможные ответы)

        причины против использования мобильных телефонов за рулем причин для использования мобильных телефонов за рулем действий по предотвращению использования мобильных телефонов за рулем
        Вы не можете сосредоточиться на вождении. Наушники просты в использовании. Жесткие штрафы.
        Это опасно. Конфискация мобильных телефонов.
        .

        Досрочный ЕГЭ по английскому языку 2020 Грамматика и лексика.

        Те, кто готовится к ЕГЭ по английскому языку, здесь потренироваться в выполнении лексико-грамматического теста по реальным материалам досрочного ЕГЭ 2020 года. Остальные тесты и тренажер устной части этого варианта смотрите здесь.

        Весь раздел из трех заданий заключен в одном тесте, выполнив который вы получите общий результат.

        1 задание на грамматику, время глагола, местоимения, сравнение и т.д.)
        2 задание на словообразование.
        3 задание на лексику.

        При выполнении 1 и 2 задания впечатайте свои варианты ответов словами, а в третьем только номера выбранных слов. Для проверки нажмите кнопку Check .

        * Можно выполнять задание выборочно, не обращая внимания на проценты. Просто невыполненные и неверные ответы останутся в окошечках. Можно делать исправления.

        Раздел 3. Грамматика и лексика

        Раздел 3. Грамматика и лексика

        19-25.Языки мира
        Какой язык вы считаете самым сложным для изучения? Китайский язык? Японский? Нет, это баскский язык, на котором говорят на северо-западе Испании и на юго-западе Франции. Это 20 (НЕ ОТНОСИТСЯ) к любому другому языку в мире. На баскском языке этот язык официально называется Euskara. Во французском языке этот язык обычно называют «баскским», хотя в последнее время «эускара» стало обычным явлением. Испанский имеет 21 (БОЛЬШОЕ) разнообразие названий языка, чем французский. Сегодня это чаще всего называют «эль васко», «ля ленгуа васка» или «эль эускера».
        Рабство в Северной Америке
        13 августа 1619 года - дата начала двух с половиной веков рабства в Северной Америке. В этот день первые африканцы, похищенные португальцами, прибыли в британскую колонию Вирджиния и 22 (ПОКУПАТЬ) английскими колонистами. 23 (НАЙДЕН) в Джеймстауне в 1607 году, к 1619 году в колонии Вирджиния проживало около 700 человек. Первые порабощенные африканцы, прибывшие туда, высадились в Пойнт-Комфорт, где сегодня (ИЗВЕСТНО) 24 Хэмптон-роудс. Большинство (ОНИ) 25 имен, а также точное число
        тех, кто остался в Пойнт Комфорт, были потеряны для истории, но многое известно об их путешествии.
        --------------------------------
        26-31. Stanley Park
        Stanley Park - это общественный парк площадью 1001 акр, граничащий с центром Ванкувера, Канада. Это место 26 (AMAZE) почти полностью окружено водами Тихого океана. Это одна из главных достопримечательностей Ванкувера, которую стоит посетить 27 человек (TOUR).
        Парк имеет давнюю историю. Земля была 28 (ОРИГИНАЛЬНАЯ), используемая коренными народами на протяжении тысячелетий. Тогда британцы решили 29 (КОЛОНИЯ) это место во время золотой лихорадки каньона Фрейзер 1858 года.Позже земля была превращена в первый парк Ванкувера. Он был назван в честь лорда Стэнли, британского политика, который недавно был назначен 30-м генералом. В отличие от других крупных городских парков, Стэнли-Парк - это не 31 (СОЗДАТЬ) ландшафтного архитектора, а, скорее, эволюция леса и городского пространства на протяжении многих лет.
        ----------------------------------
        32-38. Ширли
        Была пятница, тридцать первое мая, день рождения Ширли, ее двадцатилетие. Ширли могла в это поверить, но это было правдой.И она внезапно и чудесным образом почувствовала себя совсем взрослой, даже очень взрослой. Прошлой ночью у ее отца было 33 ______, она была прекрасной молодой леди, и она сияла на него, обняла его и сказала ему, что она так счастлива, что он и Элис стали ее родителями. Не было никого удачливее, чем она; Ширли верила в это при всех своих 34 ______. Вчера вечером за ужином Алиса и Виктор хвалили ее и много говорили о том, как они гордятся ею и чем она стала, и что она испытала огромный прилив любви и благодарности к ним.Ее отец добавил, что впереди у нее прекрасная жизнь, и она ему верит. Он всегда 35 ______ ей правду. Ее мечта о поступлении в Кембридж сбылась, и за последний год она воплотила в жизнь свою детскую мечту - 36 ______ лекций. Она 37 ______ каждое мгновение жизни в этом древнем городе сияющих шпилей, изящных четырехугольников и красивой архитектуры. Это было необычайное переживание - оказаться в этом месте великого обучения, и она с любовью перенесла бы это еще долгое время после того, как уехала.Она читала историю английского и французского языков, свои любимые предметы, и однажды она надеялась стать историком, сама читать лекции и писать книги.
        32. 1) вряд ли 2) почти 3) реально 4) редко
        33. 1) сослался 2) описал 3) назвал 4) позвонил
        34. 1) разум 2) мозг 3) сердце 4) чувство
        35. 1) сказал 2) сказал 3) поговорил 4) говорил
        36. 1) одобрял 2) посещал 3) участвовал 4) посещал
        37. 1) восхищался 2) доволен 3) привлекал 4) пользовался
        38. 1) повторил 2) запомнил 3 ) напомнить 4) обзор

        Проверьте .